多线程--管程法的代码实现

发表于 2021-03-13 阅读次数： Valine：

管程法是并发协作模型“生产者/消费者模式”实现方式的一种。

import org.w3c.dom.ls.LSOutput;

/**
 * @author ：風楪fy
 * @date ：Created in 2021/3/13 - 14:08
 */
public class Test {
    public static void main(String[] args) {
        Container container = new Container();
        Producer producer = new Producer(container);
        Consumer consumer = new Consumer(container);
        producer.start();
        consumer.start();
    }
}

//食物
class Food{
    int id;
    public Food(int id) {
        this.id = id;
    }
}

//缓存区
class Container{

    Food[] foods = new Food[10];//存储容器
    int count;//计数器

    public synchronized void push(Food food){
        //容器没有空间，无法生产，进入等待状态
        while (count == foods.length){
            try {
                this.wait();
            } catch (InterruptedException e) {
                e.printStackTrace();
            }
        }
        //容器有空间，将生产食物到容器
        foods[count] = food;
        count++;
        this.notifyAll();
    }

    public synchronized Food consume(){
        //容器没有食物，无法消费，进入等待状态
        while(count == 0){
            try {
                this.wait();
            } catch (InterruptedException e) {
                e.printStackTrace();
            }
        }
        //容器有食物，消费一个并返回消费掉的
        count--;
        Food food = foods[count];
        this.notifyAll();
        return food;
    }
}

//生产者
class Producer extends Thread{
    private Container container;

    public Producer(Container container) {
        this.container = container;
    }

    @Override
    public void run() {
        for (int i = 0; i < 100; i++) {
            System.out.println("生产第"+i+"个馒头");
            container.push(new Food(i));
        }
    }
}

//消费者
class Consumer extends Thread{
    private Container container;

    public Consumer(Container container) {
        this.container = container;
    }

    @Override
    public void run() {
        for (int i = 0; i < 100; i++) {
            System.out.println("消费第"+container.consume().id+"个馒头");
        }
    }
}

高数(下)笔记

发表于 2021-03-08 更新于 2021-03-15 分类于高数阅读次数： Valine：

本文旨在列举出一些常见考点和一些易忘公式结论，以达到备忘效果。因此较为简单或偏僻的定义、公式、结论都不过多赘述，只作为提纲列出~~（可后续自行百度或查书）~~

本文为作者一人借鉴资料独自整理，难免有所纰漏，若读者发现错误，可与作者联系，及时纠正。

第七章：多元函数微分学及其应用

6、方向导数与梯度

方向导数
- 定义：
  $设函数z=f(x,y)在点P(x_0,y_0)的某一领域内有意义，自点P引射线l与x轴正向的夹角为\alpha，\\ 在射线上任取一点M(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)，|PM|=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}=\rho，如果极限\\ \lim_{M\rightarrow P}\frac{f(M)-f(P)}{|PM|}\\ 存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点P处沿l方向的方向导数，记为\frac{\partial f}{\partial l}\Bigg|_P或\frac{\partial z}{\partial l}\Bigg|_P，即\\ \frac{\partial f}{\partial l}\Bigg|_P=\lim_{\rho\rightarrow 0^+} \frac{f(x+\rho \cos\alpha,y+\rho \sin\alpha)-f(x,y)}{\rho}$
- 性质：
  1. 若$z=f(x,y)$在点$P(x,y)$处可微，则函数一定在该点沿任一方向$l={\cos\alpha,\sin\alpha}$方向的方向导数都存在，且
    $\frac{\partial f}{\partial l}\Bigg|_P=f_x(x,y)\cos\alpha+f_y(x,y)\sin\alpha\quad(\alpha是l与x轴正向的夹角)\\ =f_x()\cos\alpha+f_y(x,y)\cos\beta\quad(\cos\alpha,\cos\beta是l的方向余弦)$
  2. 可偏导$\nRightarrow$方向导数都存在
    
    方向导数都存在$\nRightarrow$可偏导
梯度
- 定义： $设函数u=f(x,y,z)在点P(x,y,z)处可微，则由三个偏导数构成的向量\{f_x,f_y,f_z\}_P称为\\ u=f(x,y,z)在点P处的梯度，记为\boldsymbol{grad}u|_P或\boldsymbol{grad}f(x,y,z),即\\ \boldsymbol{grad}u|_P=\{u_x,u_y,u_z\}_P=\{f_x,f_y,f_z\}_P\\ 若l^0=\{\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma\}是与l同方向的单位向量，则可微函数f(x,y,z)在\\点P(x,y,z)处沿l方向的方向导数\\ \frac{\partial f}{\partial l}\Bigg|_P=f_x(P)\cos\alpha+f_y(P)\cos\beta+f_z(P)\cos\gamma\\ =\boldsymbol{grad}f|_P\cdot l^0=\Bigg|\boldsymbol{grad}f|_p\Bigg|\cdot\cos(\boldsymbol{grad}f|_P,l)$

7、多元函数的极值(最值)及其求法

多元函数的极值
- 必要条件
  $设函数z=f(x,y)在点P_0(x_0,y_0)处取得极值，且函数在该点处的偏导数存在，\\则f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0，\\也可记为\nabla f(P_0)=0，称P_0为驻点$
- 充分条件
  $设z=f(x,y)在点(x_0,y_0)的某邻域内有二阶连续偏导数，且\nabla f(x_0,y_0)=0，\\ 记A=f_{xx}(x_0,y_0),B=f_{xy}(x_0,y_0),C=f_{yy}(x_0,y_0)$

第八章：重积分

1、重积分概念与性质

重积分的定义
- 充分条件：若$f(X)$在$\Omega$上连续，则它在$\Omega$上必可积
- 必要条件：若$f(X)$在$\Omega$上可积，则它在$\Omega$上有界
  
  （$f(X)$为被积函数，$\Omega$为积分区域）
重积分的性质
1. 区域D的面积
  $\sigma=\iint_D1\cdot d\sigma=\iint_Dd\sigma$
2. （关于被积函数的线性可加性）若$\alpha,\beta$为常数，则
  $\iint_D[\alpha f(x,y)d\sigma\pm\beta f(x,y)d\sigma]=\alpha\iint_Df(x,y)d\sigma\pm\beta\iint_Df(x,y)d\sigma$
3. （关于积分区域的可加性）若$D=D_1\cup D_2$，且$D_1$与$D_2$无公共内点，则
  $\iint_Df(x,y)d\sigma =\iint_{D_1}f(x,y)d\sigma+\iint_{D_2}f(x,y)d\sigma$
4. （积分不等式）如果在D上，$f(x,y)\leq g(x,y)$，则
  $\iint_Df(x,y)d\sigma\leq\iint_Dg(x,y)d\sigma$
  特别地
  $\Bigg|\iint_Df(x,y)d\sigma\Bigg|\leq\iint_D\Big|f(x,y)\Big|d\sigma$
5. （估值定理）设$M,m$分别是函数$f(x,y)$在闭区域$D$上地最大值和最小值，$\sigma$表示$D$的面积，则
  $m\sigma\leq\iint_Df(x,y)d\sigma\leq M\sigma$
6. （中值定理）设函数$f(x,y)$在闭区域D上连续，$\sigma$表示D的面积，至少存在一点$(\xi,\eta)\in D$，使
  $\iint_Df(x,y)d\sigma=f(\xi,\eta)d\sigma$

物理实验笔记

发表于 2021-03-06 更新于 2021-03-07 分类于物理实验阅读次数： Valine：

本文为作者一人借鉴资料独自整理，难免有所纰漏，若读者发现错误，可与作者联系，及时纠正。

~~因为太懒了，所以可能大多数都是ppt截图（bushi）~~

第一章：绪论

1、误差理论和不确定度

误差的定义：测量值与其真值之差。
$\Delta X=X-a\\ x为测量值，a为真值（修正了系统误差后无数次测量值的平均值）\\ a=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{n}\sum^n_{i=1}x_i$
误差的分类：
- 系统误差：确定性
- 随机误差：随机性

粗大误差：需剔除

不确定度：表示测量值可能变动的范围。赋予被测量值的分散性
- 直接测量不确定度
  - A类：$U_A$
  - B类：$U_B$ （仪器本身的误差）
  - 合成不确定度：$U$
  - 测量结果表示：
- 间接测量不确定度

2、数据处理方法

列表法
作图法
逐差法

文概复习

发表于 2021-01-06 更新于 2021-01-07 分类于复习阅读次数： Valine：

中国文化要略复习

一：名词解释

郡望：指某一姓氏世居某地而为人们所仰望，实际指某一姓氏的社会影响。不管这些姓氏的子孙后代搬迁到哪里，都不会忘记自己的郡望。如太原王氏，范阳卢氏，汝南周氏，京兆杜氏。
六书：“六书”一词最早见于《周礼》，东汉班固指出其为“造字之本”。许慎在《说文解字》中分析：“象形、指事、会意、形声、转注、假借。”
九品中正制：魏晋南北朝的选官制度。做法：先挑选中正官，州设置大中正，郡设置小中正。然后大小中正负责了解本辖区的士人的家世、品行。家世称作“品”，德行称作“状”，中正官按照“品状”评定等级，分为九品，朝廷按评级选用。造成了恶劣的影响：“上品无寒门，下品无世族”，“世胄蹑高位，英俊沉下僚”。挫伤了知识分子学习的积极性，给教育带来消极影响。
元曲四大家：关汉卿《窦娥冤》、马致远《汉宫秋》、白朴《梧桐雨》、郑光祖《倩女幽魂》。
编年体史书：以《春秋》（鲁国史）为起始，以司马光的《资治通鉴》为代表。按历史编年分述历史事件，并加以评论，借以总结历史经验。
《永乐大典》：明代规模最大的类书，由明成祖命解缙、姚广孝等人主编，明成祖赐名《永乐大典》。在世界文化史上有重要地位。
“六朝小说”：出现在魏晋之后。分为两类，第一类“志人”，记载士族阶层的轶闻趣事，代表作为刘义庆的《世说新语》；第二类“志怪”，记载神话故事和民间传说，代表作为干宝的《搜神记》。
宋元“话本”：由于宋元以来市民阶层的兴起，产生了符合市民趣味的“话本”。内容有“小说”和“讲史”。”小说”包括传奇、公安、灵怪；”讲史”将历史演绎成小说形式，是中国长篇小说的开端。代表作《大唐三藏取经诗话》。
全真道：又称全真派，创于金代。主张儒、道、佛三教合一，注重修身养性。创始人为王重阳，号“重阳子”，收徒7人：马钰、孙不二夫妇、谭处端、刘处玄、王处一、丘处机、郝大通，世称”七真“。
小乘佛教：初始的、传统的佛教教派。只讲自我解脱，不讲普渡众生，犹如一叶只能运载少数人的小船，故贬称“小乘”。“小乘”佛教流行于东南亚各国。

中国近代史主观题复习

发表于 2021-01-05 分类于复习阅读次数： Valine：

中国近现代史纲要主观题

1.结合近代中国的历史进程，试论述中国半殖民地半封建社会的基本特征。

第一，资本帝国主义侵略势力不但逐步操纵了中国的财政和经济命脉，而且逐步控制了中国的政治，成为支配中国的决定性力量。

第二，中国的封建势力日益衰败并同外国侵略势力勾结，成为封建-帝国主义压迫、奴役中国人民的社会基础和统治支柱。

第三，中国自然经济的基础虽然遭到破坏，但是封建地主的土地所有制依然在广大地区保存着，成为中国走向现代化和民主化的严重障碍。

第四，中国新兴的民族资本主义经济虽然已经产生，但在帝国主义和封建主义的压迫下发展的很缓慢。

第五，近代中国各地区的经济政治和文化发展极不平衡，帝国主义列强还分别支持不同的政治势力以分裂中国。

第六，在资本主义和封建主义的双重压迫下，中国广大人民日益贫困，过着饥寒交迫毫无政治权利的生活。

2. 试论资本-帝国主义对中国的侵略和影响。

侵略：

一、军事侵略

资本-帝国主义列强对中国的侵略，首先和主要的试进行军事侵略。

发动侵略战争，屠杀中国人民；侵占中国领土，划分势力范围；勒索赔款，抢掠财富。

二、政治控制

控制中国内政、外交；镇压中国人民的反抗；扶植、收买代理人。

三、经济掠夺

控制中国的通商口岸；掠夺中国的关税自主权；实行商品倾销和资本输出；操纵中国的经济命脉。

四、文化渗透

披着宗教外衣，进行侵略活动；为侵略中国制造舆论。

影响：

一、改变了社会性质，从封建社会变为半殖民地半封建社会。

二、改变了革命任务，由单纯的反封建变为反帝反封建。

三、改变了经济形态，由自给自足的小农经济开始走上了资本主义的世界经济体系。

四、改变了思想观念，由“天朝上国”到回归现实世界中。“中体西用”。

3.论述近代以来，中国民族资产阶级（资产阶级改良派、资产阶级革命派）为探寻国家出路做了哪些努力，结果如何，原因和历史启示是什么。

资产阶级改良派：
- 努力：光绪皇帝颁布“明定国是”谕旨，开展百日维新。
  - 政治方面：改革行政机构；整顿吏治，提倡廉政；提倡向上谏言；取消旗人特权。
  - 经济方面：保护、奖励农工商业和交通采矿业；提倡开办实业；奖励发明创造；注重农业发展，建立新式农场；广办邮政，修筑铁路；开办商学、商报、商会；改革财政。
  - 军事方面：裁减旧式绿营兵，改练新式陆军；采用西洋兵制，练洋操，习洋枪。
  - 文化教育方面：创设京师大学堂，设立高、中、小学堂；提倡西学，废除八股；设立译书局；派遣留学生；奖励新著，准许自由组织学会。
- 结果：以慈禧太后为首的保守势力发动“戊戌政变”，戊戌维新运动宣布失败。
- 原因：主要由于改良派自身的局限和以慈禧太后为首的强大的守旧势力的反对。首先不敢否定封建主义，其次对帝国主义抱有幻想，最后惧怕人民群众。
- 历史启示：在半殖民地半封建的旧中国，企图通过统治者走自上而下的改良的道路，是根本行不通的。要想争取国家的独立、民主、富强，必须用革命的手段，推翻帝国主义、封建主义联合统治的半殖民地半封建的社会制度。
资产阶级革命派：
- 努力：1894年11月，孙中山组建了第一个革命团体兴中会。
  
  1905年8月20日，孙中山和宋教仁等人在日本东京成立中国同盟会，这是近代中国第一个领导资产阶级革命的全国性政党。同盟会提出三民主义学说和资产阶级共和国方案。
  
  1911年发动辛亥革命，在武昌首义与各地响应下，在中国延续了两千多年的封建帝制覆灭。
  
  1912年成立中华民国临时政府，孙中山为临时大总统，颁布《中华民国临时约法》。
- 结果：袁世凯窃国；北洋军阀的专制统治形成；帝制复辟；尊孔复古。辛亥革命最终失败。
- 原因：
  - 根本上：在帝国主义时代，在半殖民地半封建的中国，资本主义的建国方案是行不通的。
  - 主观上：资产阶级革命派本身存在弱点和错误。第一，没有提出彻底的反帝反封建的革命纲领；第二，不能充分发动和依靠人民群众；第三，不能建立坚强的革命政党。
- 历史启示：资产阶级共和国的方案不能救中国，先进的中国人需要进行新的探索，为中国谋求新的出路。

4.试述中国民族资本主义经济的处境和特点。

处境

民族资本主义经济的处境是艰难的，发展过程中受到多方面的阻碍：

首先，是外国资本的压迫。其次，是官僚资本的排挤。

再次，是封建生产关系的束缚。最后，是军阀官僚政府的压榨。

特点：

第一，民族资本主义经济在国民经济中所占比重小，它始终没有成为中国社会经济的主要形式。

第二，在民族资本中，工业资本所占的比重小，商业资本和金融资本所占比重大。

第三，民族资本主义工业主要是以纺织、食品工业为主的轻工业，缺乏重工业的基础，不能构成一个完整的工业体系和国民经济体系。

第四，民族资本所经营的工业，规模狭小，经营分散，技术设备落后，劳动生产率低。

第五，民族资本主义经济和封建势力有千丝万缕的联系。

5.论述五四运动的发生过程、爆发条件和表现出的特点。

发生过程：

（1）巴黎和会上中国外交失败，五四运动爆发。

（2）1919年5月4日，北京三千多余学生举行示威游行，遭到北洋政府的严厉镇压。

（3）6月5日，上海六七万工人为声援学生先后自发举行罢工。运动的主力从学生转为工人，运动的中心从北京转为上海。

（4）6月10日，北洋政府宣布罢免亲日派官僚曹汝霖、章宗祥、陆宗舆的职务。

（5）6月28日，中国政府拒绝在巴黎和约上签字，五四运动取得胜利。

爆发条件：

首先，是新的社会力量的成长、壮大。

其次，是新文化运动掀起的思想解放的潮流。

再次，是俄国十月革命对中国的影响。

特点：

第一，它表现了反帝反封建的彻底性。

第二，它是一次真正的群众运动。

第三，它促进了马克思主义在中国的传播及其与中国工人运动的结合。
它成就了中国革命的新阶段即新民主主义革命阶段的开端。

6.论述中国共产党成立的历史意义。

中国共产党的成立具有划时代的意义。是中国历史上“开天辟地的大事变”,从此,中国革命的面目就焕然一新了。

（1）中国共产党的成立,使中国革命有了坚强的领导核心,灾难深重的中国人民有了可以依赖的组织者和领导者,中国革命从此在无产阶级领导下,不断向前发展,由民主革命向社会主义革命推进。

（2）中国共产党的成立,使中国革命有了科学的指导思想。中国共产党是以马克思列宁主义为指导思想的政党,把马克思主义和中国革命具体实践相结合,制定了正确的革命纲领和斗争策略,为中国人民指明了斗争的目标和走向胜利的道路。

（3）中国共产党的成立,使中国革命有了新的革命方法,并沟通了中国革命和世界无产阶级革命之间的联系,为中国革命获得广泛的国际援助和避免资本主义的前途提供了客观可能性。

中国共产党的成立，深刻改变了近代以后中华民族发展的方向和进程，深刻改变了中国人民和中华民族的前途和命运，深刻改变了世界发展的趋势和格局。中国共产主义的兴起，使得一切反动势力感到深深的恐惧。代表历史前进方向的新生力量是不可战胜的。

7.试论述红军长征胜利的意义。

红军的长征宣告了国民党反动派消灭中国共产党和红军的图谋彻底失败，宣告了中国共产党和红军肩负着民族希望，胜利实现了北上抗日的战略转移，实现了中国共产党和巩固革命事业从挫折走向胜利的伟大转折。

中国工农红军的长征是一部伟大的革命英雄主义的史诗。它向全中国和全世界宣告，中国共产党及其领导的人民军队，是一只不可战胜的力量。中国共产党人和红军战士用生命和热血铸就了伟大的长征精神，为中国革命不断从胜利走向胜利提供了强大精神力。

长征一结束，中国革命的新局面就开始了。

8.试论述中国人民抗日战争事业的地位、胜利原因及其意义。

地位：

（一）中国人民抗日战争是世界反法西斯战争的重要组成部分，中国战场是世界反法西斯战争的东方主战场。

（1）中国人民的抗日战争开展时间最早、持续时间最长。

（2）中国战场牵制、消耗和受降的日军最多。

（3）中国的抗战遏制了日军的“北进”计划，推迟了日本发动太平洋战争的时间，阻碍了日军“南进”的步伐，缓解了英美两国的压力。

（4）中国作为亚洲太平洋地区盟军队日作战的重要后方基地，为盟国提供了大量战略物资和军事情报。

（二）中国的抗日战争得到了世界上所有爱好和平与正义的国家和人民、国际组织及各种反法西斯力量的同情和支持。

胜利原因：

第一，以爱国主义为核心的民族精神是中国人民抗日战争胜利的决定因素。

第二，中国共产党的中流砥柱作用是中国人民抗日战争胜利的关键。

第三，全民战抗战是中国人民抗日战争胜利的重要法宝。

第四，中国人民抗日战争的胜利，同世界所有爱好和平和正义的国家和人民、国际组织以及中国反法西斯力量的同情和支持时分不开的。

意义：

第一，中国人民抗日战争的胜利，彻底粉碎了日本军国主义殖民奴役中国的图谋。

第二，中国人民抗日战争的胜利，促进了中华民族的大团结，形成了伟大的抗战精神。

第三，中国人民抗日战争的胜利，对世界各国夺取反法西斯战争的胜利、维护世界和平的事业产生了巨大影响。

第四，中国人民抗日战争的胜利，开辟了中华民族复兴的光明前景。

9.论述中国革命取得胜利的原因和基本经验。

原因：

（1）有广大人民和各界人士的广泛参加和大力支持。工人、农民、城市小资产阶级群众是民主革命的主要力量，各民主党派和无党派人士、各少数民族、爱国积极分子和华侨等，都在这场斗争中发挥了积极作用。

（2）有了中国工人阶级的先锋队——中国共产党的领导。中国共产党作为工人阶级的政党，不仅代表着中国工人阶级的利益，而且代表着整个中华民族和全中国人民的利益。中国共产党人在革命过程中始终英勇地站在斗争的最前线。“没有共产党，就没有新中国”。

（3）中国革命之所以能够赢得胜利，同国际无产阶级和人民群众的支持也是分不开的。

基本经验：

第一，建立广泛的统一战线。

第二，坚持革命的武装斗争。

第三，加强共产党自身的建设。

高数（上）期末复习整理

发表于 2021-01-03 更新于 2021-01-06 分类于高数阅读次数： Valine：

本文为作者一人借鉴资料独自整理，难免有所纰漏，若读者发现错误，可与作者联系，及时纠正。

第一章：极限与连续

1、无穷小的比较、等价无穷小的替换

无穷小的比较：

$\lim\frac{\beta}{\alpha^k}=c\neq0,k>0,则称\beta是关于\alpha的k阶无穷小$ $低阶+高阶=低阶$ $低阶\times高阶=（低+高）阶$

常用等价无穷小替换：

2、两个重要极限

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}=1$ $\lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^\frac{1}{x}=e$

3、求函数间断点及间断点类型的判别

间断的类型： $第一类间断点：\lim_{n\rightarrow x_0}f(x)的左右极限存在$

其中若左右极限存在且相等，则为可去间断点

若左右极限存在但不相等，则成为跳跃间断点

$第二类间断点：不是第一类的都是第二类$

判断间断点的步骤

4、函数极限的求法

5、极限存在的两个准则

夹逼准则

单调有界收敛准则：单调有界数列必有极限

第二章：导数与微分

1、导数

导数表

$(\tan x)'=\sec^2x\quad(\cot x)=-\csc^2x\\ (\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\quad(\arccos x)'=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\arctan x)=\frac{1}{x^2+1}\quad(\text{arccot}x)=\frac{-1}{x^2+1}\\ (\log_ax)'=\frac{1}{x\ln a}\quad(a^x)'=a^x\ln a\\ (\sec x)'=\sec\tan x\quad(\csc x)'=-\csc\cot x$

各种导数的求导
参数方程求导
极坐标方程求导
$\rho=\rho(\theta)转化为 \left\{ \begin{aligned} x=\rho(\theta)\cos (\theta)\\ y=\rho(\theta)\sin(\theta) \end{aligned} \right.\\ 然后当作参数方程求导$
常见函数的高阶导数

莱布尼兹公式

2、微分

$dy=f'(x)\Delta x\\ \Delta y=dy+o(x)$

第三章：微分中值定理与导数的应用

1、微分中值定理

（1）费马引理

$若函数可微f(x)在x_0处取得极值，则f'(x_0)=0$

（2）罗尔定理

$设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，且f(a)=f(b),\\则至少可以找到一点\xi\in(a,b)，使得f'(\xi)=0$

（3）拉格朗日中值定理

$设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，且f(a)=f(b),\\则至少可以找到一点\xi\in(a,b)，使得f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

（4）柯西中值定理

$设函数f(x)、g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可微,\\ 且对于任何x\in(a,b),g'(x)\neq0,\\ 则至少可以找到一点\xi\in(a,b)，使得\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$

2、洛必达法则

$设函数f(x)，g(x)满足\\ (1)\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow a}g(x)=0或\infty\\ (2)在点a的某个去心领域内，f'(x)和g'(x)都存在且g'(x)\neq 0\\ (3)\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=k（有限或无穷），则\\ \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=k$

务必注意洛必达法则三大前提

3、泰勒公式

泰勒多项式

$f(x)\approx f(x_0)+f'(x)(x-x_0)+\frac{f''(x)}{2!}(x-x_0)+···+\frac{f^\left(n\right)(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$

泰勒中值定理

$设函数f(x)在某一区间I上有直到n+1阶的导数，而x_0\in I，\\则对\forall x\in I，f(x)可按x-x_0的方幂展开为\\ f(x)= f(x_0)+f'(x)(x-x_0)+\frac{f''(x)}{2!}(x-x_0)+···+\\ \frac{f^\left(n\right)(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\frac{f^\left(n+1\right)(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^\left(n+1\right) \quad\quad\quad (*)\\ 称(*)式为函数f(x)按(x-x_0)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式\\ 其中R_n(x)=\frac{f^\left(n+1\right)(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^\left(n+1\right)称为f(x)的拉格朗日型余项\\ 若R_n(x)为形如o(x^n)的式子，则称为佩亚诺型余项$

麦克劳林公式（几种常见的形式）

1、f(x)=$e^x$

$e^x\approx 1+x+\frac{x^2}{2!}+···+\frac{x^n}{n!}$

2、f(x)=$\sin x$

$sinx\approx x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-···+(-1)^\left(m-1\right)\frac{x^\left(2m-1\right)}{(2m-1)!}$

3、f(x)=$\cos x$

$cosx\approx 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-···+(-1)^\left(m-1\right)\frac{x^\left(2m-2\right)}{(2m-2)!}$

4、f(x)=$(1+x)^a$

$(1+x)^a\approx1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+···+\frac{a(a-1)···(a-n+1)}{n!}x^n$

5、f(x)=ln(x+1)

$ln(x+1)\approx x-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}-···+(-1)^\left(n-1\right)\frac{x^n}{n!}$

4、函数的绘制

极值

第一和第二充分条件
最值
拐点（点坐标）

凹凸性发生改变的点
凹凸性

f’’(x)>0为凹

f’’(x)<0为凸
渐近线
- 水平渐近线
- 垂直渐近线
- 斜渐近线
  $设y=kx+b为函数y=f(x)的斜渐近线，\\ k=\lim_{x\rightarrow+\infty(-\infty)}\frac{f(x)}{x}\\ b=\lim_{x\rightarrow+\infty(-\infty)}(f(x)-kx)$

第四章：不定积分

1、换元积分法

第一类换元积分法（凑微分法）
第二类换元积分法（最后记得换回去）

三角代换
倒代换
根式代换

2、分部积分法

$①\int{uv'}dx=uv-\int{u'v}dx\\ ②\int{u}dv=uv-\int{v}du$

u、v的选择：反对幂指三

3、有理函数的积分

有理函数的积分
可化为有理函数的积分

4、常用不定积分

$\int{\tan x}dx=\ln|\sec x|+C$ $\int{\cot x}dx=\ln|\sin x|+C$ $\int{\frac{1}{\sin x}}dx=\ln|\tan\frac{x}{2}|+C=\ln|\csc x-\cot x|+C$ $\int{\frac{1}{\cos x}}dx=\ln|\sec x|+C=\ln|\sec x+\tan x|+C$

第五章：定积分及其应用

1、定积分的概念

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\lambda\rightarrow0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i$

定积分的值与用什么符号来表示积分变量无关，只与f(x)以及区间[a,b]有关

一道例题：

$\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+···+\frac{n}{n^2+n^2})\\ =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}(\frac{n^2}{n^2+1^2}+\frac{n^2}{n^2+2^2}+···+\frac{n^2}{n^2+n^2})\\ =\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{1+(\frac{i}{n})^2}\frac{1}{n}=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^2}dx$

2、定积分的几何意义：面积

3、定积分的性质

区间可加性质
保号性质
估值定理

$设f(x)在[a,b]上可积，且有最大值M和最小值m，则\\ m(b-a)\leq\int_{a}^{b}f(x)dx\leq M(b-a)$

积分中值定理

$设f(x),g(x)在[a,b]上连续，g(x)在[a,b]上不变号,则在[a,b]上至少有一点\xi,使\\ \int_{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(\xi)\int_{a}^{b}g(x)dx$

4、微积分基本定理

积分变上限函数
$F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt\\ F'(x)=\frac{d}{d(x)}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)$
微积分基本定理
$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)$

5、定积分的换元积分法

与不定积分唯一不同的地方在于换元的同时需要换限

几个常用关系式

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^nxdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^nxdx\\ = \left\{ \begin{aligned} \frac{n-1}{n}·\frac{n-3}{n-2}···\frac{3}{4}·\frac{1}{2}·\frac{\pi}{2}\quad (n为偶数)\\ \frac{n-1}{n}·\frac{n-3}{n-2}···\frac{4}{5}·\frac{2}{3}\quad (n为奇数) \end{aligned} \right.$

偶倍奇零（对称去间）

6、定积分的分部积分法

$\int_{a}^{b}u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)|_a^b-\int_{a}^{b}u'(x)v(x)dx$

7、广义积分

1.无穷区间上的广义积分

$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\lim_{B\rightarrow-\infty}\int_{B}^{a}f(x)dx+\lim_{A\rightarrow+\infty}\int_{a}^{A}f(x)dx\\ \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=F(x)|_{-\infty}^{+\infty}\\$

2.无界函数的广义积分（瑕积分）

$设函数f(x)在区间[a,b)连续，在x=b附近无界，则\\ \int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{B\rightarrow-\infty}\int_{a}^{B}f(x)dx$

8、定积分的几何应用

微元法

由于定积分的实质是求和，因此解决实际问题时可以将所在的区间分成割成无限份，求出每一份的量再用定积分求和。

求面积
- 直角坐标形式
- 参数坐标形式

极坐标形式
$设所给曲线的极坐标方程为r=r(\theta),则由曲线r=r(\theta)和射线\theta=\alpha,\theta=\beta围成的面积为\\ S=\int_{\alpha}^{\beta}\frac{1}{2}r^2(\theta)d\theta$

求体积
- 大减小
- 柱壳法
求弧长

$ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}$
- 直角坐标形式
- 参数方程形式
- 极坐标形式

9、定积分的物理应用

变力沿直线做工功
液体对薄板的侧压力

~~结合具体题型和微元法~~

第六章：常微分方程

1、一阶微分方程

可分离变量微分方程
- 可直接分离
- 齐次方程（换元）
一阶线性微分方程

$y’+P(x)y=Q(x)$称为一阶线性微分方程

$y’+P(x)y=0$称为对应的一阶齐次线性微分方程

1.常数变易法

①先求出对应的一阶齐次线性微分方程的通解
$y=Ce^{-\int P(x)dx}\quad\quad(*)$
②用常数变易法，令常数$C$为$C(x)$，再将其带入一阶线性微分方程可求出$C(x)$
$C(x)=Q(x)e^{\int P(x)dx}+C_1$
③再将其带入$(*)$式即为通解

2.公式法

$y=e^{-\int P(x)dx}[C+\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx]$

伯努利方程

$y’+P(x)y=Q(x)y^n$
$在原式两端同除y^n，得y^{-n}y'+y^{1-n}P(x)=Q（x）\\ 令y^{1-n}=z，两边求导得\frac{1}{1-n}y^{-n}y'=z'\\ 带入原式得z'+z(1-n)P(x)=(1-n)Q(x)$

2、可降阶的微分方程

$y^{(n)}=f(x)$

两边连续多次积分
$y’’=f(x,y’)$

令$y’=p$ $(p=p(x))$把x当作自变量
$y’’=f(y,y’’)$

令$y’=p$ $(p=p(y))$把y当作自变量

$y’’=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}·\frac{dy}{dx}=p·\frac{dp}{dy}$

3、高阶线性微分方程

叠加原理
- 齐次线性微分方程的通解的线性组合仍然是通解
- 非齐次线性微分方程的特解的线性组合仍然是特解
高阶线性微分方程解的结构

非齐次线性微分方程的解=它的特解+对应的齐次线性微分方程的通解
常系数线性微分方程
- 常系数齐次线性微分方程的通解
  1. $r_1,r_2$是两个不相等的实根
  1. $r_1=r_2=r$是二重实根
  1. $r_1=\alpha+i\beta,r_2=\alpha+i\beta$是一对共轭复根 $y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$
- 常系数非齐次线性微分方程的特解
  1. $f(x)=P_m(x)e^{\lambda x}$其中$\lambda$是常数$P_m(x)$是$m$次多项式

$y^*=x^ke^{\lambda x}Q_m(x)\\ k=\left\{ \begin{aligned} 0\quad\lambda不是特征根\\ 1\quad\lambda是特征单根\\ 2\quad\lambda是2重特征根 \end{aligned} \right.\\ 可推广到n阶$

2. $f(x)=e^{\lambda x}[P_l(x)\cos\omega x+P_n(x)\sin\omega x]$ 其中$P_l(x),P_n(x)$分别是$l,n$次多项式

$y^*=x^ke^{\lambda x}[R_m^{(1)}(x)\cos\omega x+R_m^{(1)}(x)\sin\omega x]\\ 当\lambda\pm i\omega是特征方程的根，k=1，\\ 否则k=0$

完结撒花！！！

感谢你的阅读

（这篇博文耗费了我三天时间（可能是又菜又咕），最后还有个小插曲——就是在深夜敲第六章时，突然发现电脑前的墙上有一只蚰蜒（还是我这辈子第一次这么近距离接触，san值直接跌成零）！！！关键是它还很快爬到了桌子底下，导致我打不到它！！！······所以我现在怀着忐忑的心情，打算deploy后再找它算账······）

happy new year!

发表于 2020-12-31 更新于 2021-01-05 阅读次数： Valine：

预祝大家新年快乐！！

第七章：多元函数微分学及其应用

6、方向导数与梯度

7、多元函数的极值(最值)及其求法

第八章：重积分

1、重积分概念与性质

第一章：绪论

1、误差理论和不确定度

2、数据处理方法

一：名词解释

1.结合近代中国的历史进程，试论述中国半殖民地半封建社会的基本特征。

2. 试论资本-帝国主义对中国的侵略和影响。

3.论述近代以来，中国民族资产阶级（资产阶级改良派、资产阶级革命派）为探寻国家出路做了哪些努力，结果如何，原因和历史启示是什么。

4.试述中国民族资本主义经济的处境和特点。

5.论述五四运动的发生过程、爆发条件和表现出的特点。

6.论述中国共产党成立的历史意义。

7.试论述红军长征胜利的意义。

8.试论述中国人民抗日战争事业的地位、胜利原因及其意义。

9.论述中国革命取得胜利的原因和基本经验。

第一章：极限与连续

1、无穷小的比较、等价无穷小的替换

2、两个重要极限

3、求函数间断点及间断点类型的判别

4、函数极限的求法

5、极限存在的两个准则

第二章：导数与微分

1、导数

2、微分

第三章：微分中值定理与导数的应用

1、微分中值定理

2、洛必达法则

3、泰勒公式

泰勒多项式

泰勒中值定理

麦克劳林公式（几种常见的形式）

4、函数的绘制

第四章：不定积分

1、换元积分法

2、分部积分法

3、有理函数的积分

4、常用不定积分

第五章：定积分及其应用

1、定积分的概念

2、定积分的几何意义：面积

3、定积分的性质

4、微积分基本定理

5、定积分的换元积分法

6、定积分的分部积分法

7、广义积分

8、定积分的几何应用

9、定积分的物理应用

第六章：常微分方程

1、一阶微分方程

2、可降阶的微分方程

3、高阶线性微分方程