高数(下)笔记

本文旨在列举出一些常见考点和一些易忘公式结论，以达到备忘效果。因此较为简单或偏僻的定义、公式、结论都不过多赘述，只作为提纲列出（可后续自行百度或查书）

本文为作者一人借鉴资料独自整理，难免有所纰漏，若读者发现错误，可与作者联系，及时纠正。

第七章：多元函数微分学及其应用

6、方向导数与梯度

• 方向导数

  • 定义：

    $$设函数z=f(x,y)在点P(x_0,y_0)的某一领域内有意义，自点P引射线l与x轴正向的夹角为\alpha，\\ 在射线上任取一点M(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)，|PM|=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}=\rho，如果极限\\ \lim_{M\rightarrow P}\frac{f(M)-f(P)}{|PM|}\\ 存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点P处沿l方向的方向导数，记为\frac{\partial f}{\partial l}\Bigg|_P或\frac{\partial z}{\partial l}\Bigg|_P，即\\ \frac{\partial f}{\partial l}\Bigg|_P=\lim_{\rho\rightarrow 0^+} \frac{f(x+\rho \cos\alpha,y+\rho \sin\alpha)-f(x,y)}{\rho}$$

  • 性质：

    1. 若$z=f(x,y)$在点$P(x,y)$处可微，则函数一定在该点沿任一方向$l={\cos\alpha,\sin\alpha}$方向的方向导数都存在，且

       $$\frac{\partial f}{\partial l}\Bigg|_P=f_x(x,y)\cos\alpha+f_y(x,y)\sin\alpha\quad(\alpha是l与x轴正向的夹角)\\ =f_x()\cos\alpha+f_y(x,y)\cos\beta\quad(\cos\alpha,\cos\beta是l的方向余弦)$$

    2. 可偏导$\nRightarrow$方向导数都存在

       方向导数都存在$\nRightarrow$可偏导

• 梯度

  • 定义： $$设函数u=f(x,y,z)在点P(x,y,z)处可微，则由三个偏导数构成的向量\{f_x,f_y,f_z\}_P称为\\ u=f(x,y,z)在点P处的梯度，记为\boldsymbol{grad}u|_P或\boldsymbol{grad}f(x,y,z),即\\ \boldsymbol{grad}u|_P=\{u_x,u_y,u_z\}_P=\{f_x,f_y,f_z\}_P\\ 若l^0=\{\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma\}是与l同方向的单位向量，则可微函数f(x,y,z)在\\点P(x,y,z)处沿l方向的方向导数\\ \frac{\partial f}{\partial l}\Bigg|_P=f_x(P)\cos\alpha+f_y(P)\cos\beta+f_z(P)\cos\gamma\\ =\boldsymbol{grad}f|_P\cdot l^0=\Bigg|\boldsymbol{grad}f|_p\Bigg|\cdot\cos(\boldsymbol{grad}f|_P,l)$$

7、多元函数的极值(最值)及其求法

• 多元函数的极值

  • 必要条件

    $$设函数z=f(x,y)在点P_0(x_0,y_0)处取得极值，且函数在该点处的偏导数存在，\\则f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0，\\也可记为\nabla f(P_0)=0，称P_0为驻点$$

  • 充分条件

    $$设z=f(x,y)在点(x_0,y_0)的某邻域内有二阶连续偏导数，且\nabla f(x_0,y_0)=0，\\ 记A=f_{xx}(x_0,y_0),B=f_{xy}(x_0,y_0),C=f_{yy}(x_0,y_0)$$

• 第八章：重积分

1、重积分概念与性质

• 重积分的定义

  $$设f(x,y)事平面有界闭区域D上的有界韩寒苏，将区域D任意分割成n个彼此无公共内点的小区域\\ \Delta\sigma_1,\Delta\sigma_2,\cdots,\Delta\sigma_n,\\ 其中\Delta\sigma_i表示第i个小区域，也表示它的面积.任取点(\xi_i,\eta_i)\in\Delta\sigma_i,\\作乘积f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i(i=1,2,\cdots,n),并求和\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i.\\如果当各个小区域的直径的最大值\lambda趋于零时，该和式的极限存在，\\并且极限的值与分割方式及点(\xi_i,\eta_i)的取法无关，\\则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的重积分,记作\iint_Df(x,y)d\sigma,\\ 即\iint_Df(x,y)d\sigma=\lim_{\lambda\rightarrow0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i\\ 其中f(x,y)称为被积函数，f(x,y)d\sigma称为被积表达式，\sigma称为面积元素,\\ x与y称为积分变量，D称为积分区域，\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i称为积分和\\ (以上定义可推广到n重积分,二重为面积，三重为体积)$$

  • 充分条件：若$f(X)$在$\Omega$上连续，则它在$\Omega$上必可积

  • 必要条件：若$f(X)$在$\Omega$上可积，则它在$\Omega$上有界

    （$f(X)$为被积函数，$\Omega$为积分区域）

• 重积分的性质

  1. 区域D的面积

     $$\sigma=\iint_D1\cdot d\sigma=\iint_Dd\sigma$$

  2. （关于被积函数的线性可加性）若$\alpha,\beta$为常数，则

     $$\iint_D[\alpha f(x,y)d\sigma\pm\beta f(x,y)d\sigma]=\alpha\iint_Df(x,y)d\sigma\pm\beta\iint_Df(x,y)d\sigma$$

  3. （关于积分区域的可加性）若$D=D_1\cup D_2$，且$D_1$与$D_2$无公共内点，则

     $$\iint_Df(x,y)d\sigma =\iint_{D_1}f(x,y)d\sigma+\iint_{D_2}f(x,y)d\sigma$$

  4. （积分不等式）如果在D上，$f(x,y)\leq g(x,y)$，则

     $$\iint_Df(x,y)d\sigma\leq\iint_Dg(x,y)d\sigma$$

     特别地

     $$\Bigg|\iint_Df(x,y)d\sigma\Bigg|\leq\iint_D\Big|f(x,y)\Big|d\sigma$$

  5. （估值定理）设$M,m$分别是函数$f(x,y)$在闭区域$D$上地最大值和最小值，$\sigma$表示$D$的面积，则

     $$m\sigma\leq\iint_Df(x,y)d\sigma\leq M\sigma$$

  6. （中值定理）设函数$f(x,y)$在闭区域D上连续，$\sigma$表示D的面积，至少存在一点$(\xi,\eta)\in D$，使

     $$\iint_Df(x,y)d\sigma=f(\xi,\eta)d\sigma$$