高数（上）期末复习整理

本文旨在列举出一些常见考点和一些易忘公式结论，以达到备忘效果。因此较为简单或偏僻的定义、公式、结论都不过多赘述，只作为提纲列出（可后续自行百度或查书）

本文为作者一人借鉴资料独自整理，难免有所纰漏，若读者发现错误，可与作者联系，及时纠正。

第一章：极限与连续

1、无穷小的比较、等价无穷小的替换

• 无穷小的比较：

$$\lim\frac{\beta}{\alpha^k}=c\neq0,k>0,则称\beta是关于\alpha的k阶无穷小$$ $$低阶+高阶=低阶$$ $$低阶\times高阶=（低+高）阶$$

• 常用等价无穷小替换：

2、两个重要极限

$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}=1$$ $$\lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^\frac{1}{x}=e$$

3、求函数间断点及间断点类型的判别

• 间断的类型： $$第一类间断点：\lim_{n\rightarrow x_0}f(x)的左右极限存在$$

其中若左右极限存在且相等，则为可去间断点

若左右极限存在但不相等，则成为跳跃间断点

$$第二类间断点：不是第一类的都是第二类$$

• 判断间断点的步骤

4、函数极限的求法

5、极限存在的两个准则

• 夹逼准则

• 单调有界收敛准则：单调有界数列必有极限

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第二章：导数与微分

1、导数

• 导数表

$$(\tan x)'=\sec^2x\quad(\cot x)=-\csc^2x\\ (\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\quad(\arccos x)'=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\arctan x)=\frac{1}{x^2+1}\quad(\text{arccot}x)=\frac{-1}{x^2+1}\\ (\log_ax)'=\frac{1}{x\ln a}\quad(a^x)'=a^x\ln a\\ (\sec x)'=\sec\tan x\quad(\csc x)'=-\csc\cot x$$

• 各种导数的求导

  

• 参数方程求导

  

• 极坐标方程求导

  $$\rho=\rho(\theta)转化为 \left\{ \begin{aligned} x=\rho(\theta)\cos (\theta)\\ y=\rho(\theta)\sin(\theta) \end{aligned} \right.\\ 然后当作参数方程求导$$

• 常见函数的高阶导数

• 莱布尼兹公式

2、微分

$$dy=f'(x)\Delta x\\ \Delta y=dy+o(x)$$

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第三章：微分中值定理与导数的应用

1、微分中值定理

（1）费马引理

$$若函数可微f(x)在x_0处取得极值，则f'(x_0)=0$$

（2）罗尔定理

$$设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，且f(a)=f(b),\\则至少可以找到一点\xi\in(a,b)，使得f'(\xi)=0$$

（3）拉格朗日中值定理

$$设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，且f(a)=f(b),\\则至少可以找到一点\xi\in(a,b)，使得f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

（4）柯西中值定理

$$设函数f(x)、g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可微,\\ 且对于任何x\in(a,b),g'(x)\neq0,\\ 则至少可以找到一点\xi\in(a,b)，使得\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$$

2、洛必达法则

$$设函数f(x)，g(x)满足\\ (1)\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow a}g(x)=0或\infty\\ (2)在点a的某个去心领域内，f'(x)和g'(x)都存在且g'(x)\neq 0\\ (3)\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=k（有限或无穷），则\\ \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=k$$

务必注意洛必达法则三大前提

3、泰勒公式

• 泰勒多项式

$$f(x)\approx f(x_0)+f'(x)(x-x_0)+\frac{f''(x)}{2!}(x-x_0)+···+\frac{f^\left(n\right)(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$

• 泰勒中值定理

$$设函数f(x)在某一区间I上有直到n+1阶的导数，而x_0\in I，\\则对\forall x\in I，f(x)可按x-x_0的方幂展开为\\ f(x)= f(x_0)+f'(x)(x-x_0)+\frac{f''(x)}{2!}(x-x_0)+···+\\ \frac{f^\left(n\right)(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\frac{f^\left(n+1\right)(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^\left(n+1\right) \quad\quad\quad (*)\\ 称(*)式为函数f(x)按(x-x_0)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式\\ 其中R_n(x)=\frac{f^\left(n+1\right)(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^\left(n+1\right)称为f(x)的拉格朗日型余项\\ 若R_n(x)为形如o(x^n)的式子，则称为佩亚诺型余项$$

• 麦克劳林公式（几种常见的形式）

1、f(x)=$e^x$

$$e^x\approx 1+x+\frac{x^2}{2!}+···+\frac{x^n}{n!}$$

2、f(x)=$\sin x$

$$sinx\approx x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-···+(-1)^\left(m-1\right)\frac{x^\left(2m-1\right)}{(2m-1)!}$$

3、f(x)=$\cos x$

$$cosx\approx 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-···+(-1)^\left(m-1\right)\frac{x^\left(2m-2\right)}{(2m-2)!}$$

4、f(x)=$(1+x)^a$

$$(1+x)^a\approx1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+···+\frac{a(a-1)···(a-n+1)}{n!}x^n$$

5、f(x)=ln(x+1)

$$ln(x+1)\approx x-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}-···+(-1)^\left(n-1\right)\frac{x^n}{n!}$$

4、函数的绘制

• 极值

  第一和第二充分条件

• 最值

• 拐点（点坐标）

  凹凸性发生改变的点

• 凹凸性

  f’’(x)>0为凹

  f’’(x)<0为凸

• 渐近线

  • 水平渐近线

  • 垂直渐近线

  • 斜渐近线

    $$设y=kx+b为函数y=f(x)的斜渐近线，\\ k=\lim_{x\rightarrow+\infty(-\infty)}\frac{f(x)}{x}\\ b=\lim_{x\rightarrow+\infty(-\infty)}(f(x)-kx)$$

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第四章：不定积分

1、换元积分法

• 第一类换元积分法（凑微分法）
• 第二类换元积分法（最后记得换回去）

1. 三角代换
2. 倒代换
3. 根式代换

2、分部积分法

$$①\int{uv'}dx=uv-\int{u'v}dx\\ ②\int{u}dv=uv-\int{v}du$$

u、v的选择：反对幂指三

3、有理函数的积分

1. 有理函数的积分
2. 可化为有理函数的积分

4、常用不定积分

$$\int{\tan x}dx=\ln|\sec x|+C$$ $$\int{\cot x}dx=\ln|\sin x|+C$$ $$\int{\frac{1}{\sin x}}dx=\ln|\tan\frac{x}{2}|+C=\ln|\csc x-\cot x|+C$$ $$\int{\frac{1}{\cos x}}dx=\ln|\sec x|+C=\ln|\sec x+\tan x|+C$$

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第五章：定积分及其应用

1、定积分的概念

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\lambda\rightarrow0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i$$

定积分的值与用什么符号来表示积分变量无关，只与f(x)以及区间[a,b]有关

一道例题：

$$\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+···+\frac{n}{n^2+n^2})\\ =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}(\frac{n^2}{n^2+1^2}+\frac{n^2}{n^2+2^2}+···+\frac{n^2}{n^2+n^2})\\ =\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{1+(\frac{i}{n})^2}\frac{1}{n}=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^2}dx$$

2、定积分的几何意义：面积

3、定积分的性质

• 区间可加性质
• 保号性质
• 估值定理

$$设f(x)在[a,b]上可积，且有最大值M和最小值m，则\\ m(b-a)\leq\int_{a}^{b}f(x)dx\leq M(b-a)$$

• 积分中值定理

$$设f(x),g(x)在[a,b]上连续，g(x)在[a,b]上不变号,则在[a,b]上至少有一点\xi,使\\ \int_{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(\xi)\int_{a}^{b}g(x)dx$$

4、微积分基本定理

• 积分变上限函数

  $$F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt\\ F'(x)=\frac{d}{d(x)}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)$$

• 微积分基本定理

  $$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)$$

5、定积分的换元积分法

与不定积分唯一不同的地方在于换元的同时需要换限

• 几个常用关系式

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^nxdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^nxdx\\ = \left\{ \begin{aligned} \frac{n-1}{n}·\frac{n-3}{n-2}···\frac{3}{4}·\frac{1}{2}·\frac{\pi}{2}\quad (n为偶数)\\ \frac{n-1}{n}·\frac{n-3}{n-2}···\frac{4}{5}·\frac{2}{3}\quad (n为奇数) \end{aligned} \right.$$

• 偶倍奇零（对称去间）

6、定积分的分部积分法

$$\int_{a}^{b}u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)|_a^b-\int_{a}^{b}u'(x)v(x)dx$$

7、广义积分

​ 1.无穷区间上的广义积分

$$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\lim_{B\rightarrow-\infty}\int_{B}^{a}f(x)dx+\lim_{A\rightarrow+\infty}\int_{a}^{A}f(x)dx\\ \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=F(x)|_{-\infty}^{+\infty}\\$$

​ 2.无界函数的广义积分（瑕积分）

$$设函数f(x)在区间[a,b)连续，在x=b附近无界，则\\ \int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{B\rightarrow-\infty}\int_{a}^{B}f(x)dx$$

8、定积分的几何应用

• 微元法

由于定积分的实质是求和，因此解决实际问题时可以将所在的区间分成割成无限份，求出每一份的量再用定积分求和。

1. 求面积

   • 直角坐标形式
   $$若平面图形由连续曲线f(x),g(x)和直线x=a,x=b，围成，则面积为\\ S=\int_{a}^{b}|f(x)-g(x)|dx$$
   • 参数坐标形式
   $$设所给曲线的参数方程为x=x(t),y=y(t),并设x(\alpha)=a,x(\beta)=b,\\则由曲线x=x(t)、y=y(t)和直线x=a,x=b所围成的面积为\\ S=\int_{\alpha}^{\beta}|y(t)|x'(t)dt$$

• 极坐标形式

  $$设所给曲线的极坐标方程为r=r(\theta),则由曲线r=r(\theta)和射线\theta=\alpha,\theta=\beta围成的面积为\\ S=\int_{\alpha}^{\beta}\frac{1}{2}r^2(\theta)d\theta$$

1. 求体积

   • 大减小
   • 柱壳法

2. 求弧长

   $ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}$

   • 直角坐标形式
   $$设求曲线y=f(x)在[a,b]上的弧长S,则\\ S=\int_{a}^{b}\sqrt{1+f'^2(x)}dx$$
   • 参数方程形式
   $$设曲线的参数方程是\left\{ \begin{aligned} x=x(t)\\ y=y(t) \end{aligned} \right.\\ S=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}dt$$
   • 极坐标形式
   $$设曲线的极坐标参数方程r=r(\theta)，可化为 \left\{ \begin{aligned} x=r(\theta)\cos (\theta)\\ y=r(\theta)\sin(\theta) \end{aligned} \right.，则\\ S=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r^2(\theta)+r'^2(\theta)}d(\theta)$$

9、定积分的物理应用

1. 变力沿直线做工功
2. 液体对薄板的侧压力

结合具体题型和微元法

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第六章：常微分方程

1、一阶微分方程

• 可分离变量微分方程

  • 可直接分离
  • 齐次方程（换元）

• 一阶线性微分方程

  $y’+P(x)y=Q(x)$称为一阶线性微分方程

  $y’+P(x)y=0$称为对应的一阶齐次线性微分方程

  1.常数变易法

  ​ ①先求出对应的一阶齐次线性微分方程的通解

  $$y=Ce^{-\int P(x)dx}\quad\quad(*)$$

  ​ ②用常数变易法，令常数$C$为$C(x)$，再将其带入一阶线性微分方程可求出$C(x)$

  $$C(x)=Q(x)e^{\int P(x)dx}+C_1$$

  ③再将其带入$(*)$式即为通解

  2.公式法

$$y=e^{-\int P(x)dx}[C+\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx]$$

• 伯努利方程

  $y’+P(x)y=Q(x)y^n$

  $$在原式两端同除y^n，得y^{-n}y'+y^{1-n}P(x)=Q（x）\\ 令y^{1-n}=z，两边求导得\frac{1}{1-n}y^{-n}y'=z'\\ 带入原式得z'+z(1-n)P(x)=(1-n)Q(x)$$

2、可降阶的微分方程

1. $y^{(n)}=f(x)$

   两边连续多次积分

2. $y’’=f(x,y’)$

   令$y’=p$ $(p=p(x))$把x当作自变量

3. $y’’=f(y,y’’)$

   令$y’=p$ $(p=p(y))$把y当作自变量

   $y’’=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}·\frac{dy}{dx}=p·\frac{dp}{dy}$

3、高阶线性微分方程

• 叠加原理

  • 齐次线性微分方程的通解的线性组合仍然是通解
  • 非齐次线性微分方程的特解的线性组合仍然是特解

• 高阶线性微分方程解的结构

  非齐次线性微分方程的解=它的特解+对应的齐次线性微分方程的通解

• 常系数线性微分方程

  $$设有二阶常系数线性微分方程:\\ y''+py'+qy=f(x)\\ 称r^2+pr+q=0为其特征方程\\ 设r_1,r_2为它的两个解$$

  • 常系数齐次线性微分方程的通解

    1. $r_1,r_2$是两个不相等的实根
    $$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$$
    1. $r_1=r_2=r$是二重实根
    $$y=(C_1+C_2x)e^{rx}$$
    1. $r_1=\alpha+i\beta,r_2=\alpha+i\beta$是一对共轭复根 $$y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$$

  • 常系数非齐次线性微分方程的特解

    1. $f(x)=P_m(x)e^{\lambda x}$其中$\lambda$是常数$P_m(x)$是$m$次多项式

$$y^*=x^ke^{\lambda x}Q_m(x)\\ k=\left\{ \begin{aligned} 0\quad\lambda不是特征根\\ 1\quad\lambda是特征单根\\ 2\quad\lambda是2重特征根 \end{aligned} \right.\\ 可推广到n阶$$

​ 2. $f(x)=e^{\lambda x}[P_l(x)\cos\omega x+P_n(x)\sin\omega x]$ 其中$P_l(x),P_n(x)$分别是$l,n$次多项式

$$y^*=x^ke^{\lambda x}[R_m^{(1)}(x)\cos\omega x+R_m^{(1)}(x)\sin\omega x]\\ 当\lambda\pm i\omega是特征方程的根，k=1，\\ 否则k=0$$

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完结撒花！！！

感谢你的阅读

（这篇博文耗费了我三天时间（可能是又菜又咕），最后还有个小插曲——就是在深夜敲第六章时，突然发现电脑前的墙上有一只蚰蜒（还是我这辈子第一次这么近距离接触，san值直接跌成零）！！！关键是它还很快爬到了桌子底下，导致我打不到它！！！······所以我现在怀着忐忑的心情，打算deploy后再找它算账······）